KONTINU

Teorema 8.1

Asumsikan bahwa  dan  adalah kontinu pada  maka :

a.    Fungsi konstan  untuk semua  adalah kontinu pada setiap

b.    adalah kontinu pada  untuk sembarang konstan  ( ingat bahwa  mempunyai nilai .untuk tiap argument

c.       adalah kontinu  pada

d.       adalah kontinu  pada

e.        adalah kontinu  pada

f.         adalah kontinu  pada  jika

g.       adalah kontinu  pada  jika terdefinisi

Teorema 8.2

Fungsi identitas  adalah kontinu  pada setiap   hal ini diperoleh dari fakta bahwa

kita katakana bahwa fungsi  kontinu pada suatu himpunan  jika  kontinu , kita bermaksud bahwa fungsi  kontinu pada tiap bilangan real.

Gagasan intuitif awal dibalik konsepsi kontuinitas adalah bahwa suatu grafik kontinu dimaksud untuk “ kontinu” secara intuitif, dimana seseorang dapat menggambar grafik tanpa mengangkat pensil dari kertas. Jadi, grafik tersebut tidak mengandung “ lubang” atau “ loncatan”. Namun demikian, tampaknya definisi yang tepat dari kontinuitas adalah dari konsepsi intuisi awal terdapat fungsi- fungsi kontinu yang rumit yang tentu saja tidak dapat di gambar pada selembaran kertas.

Teorema 8.3 :

Setiap fungsi polynomial

Adalah kontinu

Ini adalah konsekuensi dari teorema 8.2 dan teorema 8.1 (a-e)

Contoh :

Sebagai suatu contoh dari teorema 8.3 , perhatikan bahwa . Catat bahwa dari teorema 8.2 fungsi identitas  adalah kontinu dan dengan demikian, dari teorema 8.1 (e),  adalah kontinu dan dari teorema 8.1(b) ,  adalah kontinu. Dari teorema 8.1(a) fungsi konstan 3 adalah kontinu. Akhirnya, dari teorema 8.1 (c) adalah kontinu.

Teorema 8.4

Setiap fungsi rasional  dimana  dan  fungsi – fungsi polynomial, adalah kontinu pada himpunan semua titik dimana

Hal ini diperoleh dari teorema 8.3 dan 8.1 sebagai contoh fungsi adalah kontinu pada himpunan semua titik kecuali 1 dan -1, dan fungsi adalah kontinu pada semua titik (karena tidak pernah sama dengan 0) kita akan menggunakan gagasan khusus dari kontinuitas yang berhubungan dengan suatu interval tertutup . Mula- mula, kita katakana bahwa  adalah kontinu di bagian kanan pada

Jika  terdefinisi dari  ada . Kita katakan bahwa  adalah kontinu di bagian kiri  pada  Jika  terdefinisi dari  ada .

Definisi

  kontinu pada  jika  kontinu pada tiap titik dalam interval terbuka .   kontinu di bagian kanan , dan di bagian kiri pada  

Catat bahwa  kontinu pada  tidak tergantung pada nilai- nilai  , jika ada yang berada di luar . Catat bahwa setiap fungsi kontinu ( yakni suatu fungsi yang kontinu pada semua bilangan real) harus kontinu pada sebarang interval tertutup. Secara khusus, setiap fungsi polynomial adalah kontinu pada interval tertutup.

Kita ingin mendiskusikan secara mendalam sifat-sifat tertentu dari fungsi kontinu yang akan kita gunakan, tetapi pembuktiannya berada di luar jangkauan buku ini

Teorama 8.5 (teorema nilai tengah )

Jika  kontinu pada dan , maka untuk sebarang bilangan  antara  dan , terdapat sedikit satu bilangan  dalam interval terbuka  dimana  gambar 8-4(a) adalah ilustrasi dari teorema 8.5.Gambar  8-5 menunjukkan bahwa kontinuitas seluruh interval penting untuk validitas teorema ini. Hasil berikut ini adalah kasus- kasus teorema nilai tengah

Korolari (akibat) 8.6:

Jika  kontinu pada dan ,memiliki tanda yang berbeda, maka persamaan  setidaknya memiliki satu akar pada interval terbuka , sehingga grafik  memotong sumbu  paling tidak satu kali antara  dan  (lihat gambar 8-4(b)).

Teorema 8.7 : (teorema nilai ekstrime)

Jika  kontinu pada , maka  mengambil nilai terkecil  dan nilai terbesar  pada interval tersebut

Sebagai ilustrasi dari teorema nilai ekstrime. Lihat Gambar 8-6(a), dimana nilai minumun  terjadi pada  dan nilai maksimum  terjadi pada . Dalam kasus ini  dan  terletak pada interval tersebut. Disisi lain dalam Gambar 8-6(b), nilai  terjadi pada  dan nilai maksimum  terdapat di dalam interval. untuk melihat kontinuitas tersebut, teorema nilai ekstrim harus benar, dengan mempertimbangkan fungsi yang grafiknya diperlihatkan di Gambar 8-6(c). terdapat diskontinuitas pada  di interval fungsi itu memiliki nilai minimum pada ujungn kiri  tetapi fungsi itu tidak memiliki nilai maksimum

Salah satu sifat lain yang berguna dari fungsi- fungsi kontinu diberikan oleh hasil berikut :

Teorema 8.8:

Jika  kontinu pada  dan , maka terdapat bilangan positif  sedemikian rupa sehingga , ketika  maka

Teorema ini digambarkan pada Gambar 8-7.